쉽게 배우는 회로 해석(Circuit Analysis)이라고? 미적분 한번 풀고 가실께요~~

또 한해가 저물어 갑니다. 속절 없이 나이만 먹어 가네요. 나이는 숫자에 불과 하다지만 그래도 심난한 것은 어쩔 수 없습니다. 기왕이면 멋있게 늙을 수 없을까? 소싯적 "공대 오빠 똑똑하다~~"라는 찬사에 우쭐해 봤잖아요. 이젠 "아빠 멋지다~~" 라는 찬사를 들어보겠다고 책을 꺼냈습니다. 손쉽게 멋 있어지는 방법은 똑똑해 지는 겁니다.

무슨 과목을 해볼까? 기왕이면 좀 익숙한 게 좋겠죠. "회로해석(Circuit Analysis)"이 적당 할 것 같습니다. 전자공작 취미에도 도움이 되겠고 해석이라 하니 어쩐지 있어보이기도 합니다. 회로라는 것이 저항, 컨덴서, 인덕더 같은 간단한 소자들의 조합일 뿐이고 겨우 전류와 전압 계산하는 것 아니겠어요? 게다가 책의 부제목에  "Hard stuff made easy" 라네요. 어려운 걸 쉽게 설명 했다니 안심 해 봅니다.

이 쉽다는 책의 첫 장에서 전류와 전압을 설명 합니다. 까짓거 전류 쯤이야! 하며 덤벼 보기로 합니다. 전류는 시간당 회로에 흐르는 전하량을 나타낸 것입니다.

전하량을 구하려면 전류를 적분 해야 한다네요. 초장부터 미적분이라니 약간 겁나긴 하네요. 하지만 까짓거 간단한 미적분 기호일뿐인데 이해 못할 것도 없네요.

이제 배웠으니 연습문제를 풀어보겠습니다. 쉬운 책이라기에 펼쳐 들었더니 겨우 7쪽 부터 이런 문제가 나오네요. 전하량을 구하라는 문제인데 전류 식이 무려 지수함수와 삼각함수로 표현되어 있군요. 이걸 적분하라는데 쉽긴 뭐가 쉬워!

그렇다고 초장부터 집어치우면 않되 겠기에 풀어보기로 합니다. 다행히 해답(Solution)이 포함되어 있습니다. 해답을 대충 읽어보고 혼자 풀어 보기로 합니다. 그래야 내 것이 될테니까요.

[경고] 아래 내용은 의욕상실 및 혈압상승의 우려가 있음!

정적분을 구하려면 적분 기호를 없애는 방법을 찾으면 되겠습니다. 지수함수를 적분하면 그냥 지수함수가 되고 코사인 함수를 적분하면 사인 함수가 됩니다. 간단한 적분 공식인데 외워둡니다.

흔히 수학은 외우는게 아니고 이해하는 거라고 들 합니다만 틀린 이야기 입니다. 기초 산수를 배울 때나 일일이 이해하고 증명해 보는 것이지 수학을 다룰 때는 기본 공식은 외워야 합니다. 실제로 구구단은 외웠지 이해하며 배우진 않잖아요. 특히 고등 수학은 수 백년간 많은 수학자들에 의해 증명된 공식인데 그걸 일일이 이해하고 증명해 보일 수 있다면 좋지만 정력 과 시간 낭비 입니다. 기본 공식은 외웁니다. 외우고 써먹다 보면 이해될 날이 올겁니다. 마치 어린아이가 말을 배울 때 자주 접하다 보면 익숙 해 지듯이 수학의 공식도 외우고 자주 써먹다 보면 친해지죠. 외우기와 연습을 게을리 하면 수학 뿐만 아니라 국어, 영어도 못합니다.

위의 문제에서 적분 안에 두 t의 함수의 곱이 군요. 두개의 함수가 곱해진 경우 각각 함수로 풀어내야 합니다.  각 함수를 따로 적분하여 곱할 수 있겠지만 수학은 그리 만만 하지 않죠.

또한가지 외울 것이 있는데 부분 미적분이라는 겁니다. 두가지 함수가 곱해진 경우 각각을 미적분해서 더해 줘야 하죠. 이 역시 간단한 공식 입니다.

위의 첫번째 공식은 부분 미분, 두번째 공식은 부분 적분(Integral-by-Partial) 공식 입니다. 적분 공식에서 f(t)g(t) 라는 항이 보이죠. 적분 기호가 없습니다. 정적분 계산을 위해 원했던 것입니다. 그래서 q(t)를 아래와 같이 각각 f(t)와 g(t)의 미분 함수라고 정의해 봅시다. 함수에 ' 을 찍은 것은 미분 했다는 뜻이죠.

이렇게 정의한 f(t)와 g'(t)에 대해 각각 f'(t)와 g(t)를 구해 보면 다음과 같습니다. 앞서 외웠던 지수함수의 미적분, 삼학함수의 미적분 공식을 적용한 겁니다.

이를 부분 적분 공식에 따라 q(t)에 대입하면 다음과 같습니다.

위식의 왼쪽 첫번째 항(1)은 공학용 계산기를 이용해서 값을 구할 수 있습니다.

그런데 두번째 항에 다시 지수함수와 코사인 함수가 곱해진 적분이 있네요. 이 적분항을 다시 풀어야 하는데 다행히 앞서 했던 부분 적분 공식을 그대로 적용 하기로 합니다. 계산 결과는 다음과 같습니다.

왼쪽 식의 첫번째 항은 역시 공학용 계산기로 값을 구할 수 있습니다. 값은 약 -0.0004 입니다. 두번째 항은 지수함수와 사인 함수의 곱으로 된 적분 항이군요. 이 결과식을 원식 q(t)에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

q(t)에 대하여 정리하면,

약 2.4 미리 쿨롱 입니다.

오늘이 수능 날이고 하니 날고기던 옛 시절을 추억하며 간단한(?) 정적분 계산 문제를 풀어 봤는데 혹시 이런 기분은 아니죠?